HUECO MUNDO: juillet 2008

dimanche 27 juillet 2008

et le dernier volet

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samedi 12 juillet 2008

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension utilisé en dynamique des fluides. Il a été mis en évidence en 1883 par Osborne Reynolds. Il caractérise un écoulement, en particulier la nature de son régime (laminaire, transitoire, turbulent etc. …).

Définition

Le nombre de Reynolds représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Il s'énonce généralement de la façon suivante :

$Re = {V L\over \nu}$

avec les unités S.I. suivantes :

V - vitesse du fluide [m/s],
L - dimension caractéristique [m] du phénomène :

. diamètre pour une conduite (de section circulaire le plus souvent), diamètre hydraulique.

. dimension jugée la plus pertinente pour une conduite ou un obstacle de forme quelconque,

. abscisse depuis le bord d'attaque pour une plaque plane ou un profil d'aile.

ν - (nu) viscosité cinématique du fluide : ν = η/ρ [m²/s].
ρ - (rhô) masse volumique du fluide [kg/m³],
η - (êta) viscosité dynamique du fluide [Pa.s],

Le nombre de Reynolds représente également le rapport (qualitatif) du transfert par convection par le transfert par diffusion de la quantité de mouvement.

En magnétohydrodynamique il est aussi possible de définir un nombre de Reynolds: le nombre de Reynolds magnétique.

Interprétation du nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds peut s'écrire de la manière suivante :

$Re = {{\rho V^2\over L}\over {\eta V\over L^2}}$ , Il s'interprète alors comme le rapport entre forces d'inertie et forces visqueuses.

On distingue trois principaux régimes.

Aux faibles valeurs du Reynolds (inférieures à 2000), les forces de viscosité sont prépondérantes, l'accélération convective étant négligée. On parle d'écoulement de Stokes. L'écoulement est laminaire (des éléments de fluide voisins demeurent voisins). De plus, comme l'inertie est négligeable, l'écoulement du fluide est réversible. Cela donne lieu à des comportements surprenants : si les forces extérieures sont soudainement stoppées, le fluide s'arrête immédiatement. Qui plus est, si les forces extérieures sont inversées, le fluide repart en sens inverse: dans une célèbre expérience de G.I.Taylor, une goutte d'encre, intialement mélangée dans un fluide visqueux, se reconstitue lorsqu'on a inversé le mouvement.
Aux valeurs intermédiaires du Reynolds (entre 2000 et 3000 environ), les forces d'inertie sont prépondérantes, mais l'écoulement reste laminaire. Cependant, il n'est plus réversible: si l'on stoppe les forces extérieures, le fluide continue partiellement sur sa lancée.
Aux fortes valeurs du Reynolds (au-delà d'environ 3000, voire plus haut), les forces d'inertie sont si importantes que l'écoulement devient turbulent. Entre les régimes laminaire et turbulent, on parle de régime transitoire.

Exemples

Dans une conduite, l'écoulement est laminaire lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à une valeur critique pour laquelle se produit une transition assez brutale vers le turbulent. 2300 est la valeur généralement retenue pour cette transition mais, dans des conditions soignées (paroi particulièrement lisse, stabilité de la vitesse), la transition peut se produire pour une valeur plus élevée. On considère souvent que la transition peut se produire entre 2000 et 3000.

Sur un cylindre à section circulaire placé dans un écoulement, on obtient un écoulement proprement laminaire qui s'ajuste parfaitement à l'obstacle jusqu'à un nombre de Reynolds de l'ordre de 1 ; un sillage turbulent apparaît à l'aval aux environs de 10⁵. Entre les deux, la transition se fait à travers diverses formes de sillages tourbillonnaires.

Avec une plaque plane située dans le lit de l'écoulement, la dimension caractéristique n'est plus l'épaisseur de celle-ci mais la distance d'un point au bord d'attaque. En effet une couche limite, dans laquelle interviennent la viscosité ou la turbulence, se développe à partir du bord d'attaque. Si celui-ci présente une arête émoussée, la couche limite est turbulente dès le début. Dans le cas d'un bord effilé, la couche limite est laminaire sur une certaine longueur, puis devient turbulente ensuite. Cette laminarité se maintient jusqu'à une distance qui correspond au Reynolds critique de l'ordre de 5.10⁵ marquant la transition du type d'écoulement, la zone située au delà développant une couche limite turbulente.

Pour un profil d'aile, la distribution d'épaisseur le long de la corde (et le gradient de pression négative associé) de certains profils dits "laminaires" stabilise la laminarité et permet de reculer le point de transition bien au delà de 5.10⁵ : des valeurs de 7.10⁶ sont possibles dans des conditions aérologiques non turbulentes (difficiles à obtenir en soufflerie) sur une surface parfaitement lisse (ailes de planeurs).

Un corps profilé comme un fuselage (Piaggio P180 Avanti) peut avoir une transition reculée jusqu'à 50.10⁶, dans des conditions idéales également.

En médecine

Les modifications de régime d'écoulement entraînées par la compression d'une artère, en règle générale l'artère humérale, lors de la prise de la pression artérielle sont responsables d'un bruit (« bruits de Korotkoff ») et permettent, par l'auscultation de l'artère en aval de la compression, de connaître la pression systolique -apparition du bruit-, et la pression diastolique -disparition du bruit.

En Hydromécanique [modifier]

Dans un circuit ou système hydraulique ou oléohydraulique l'écoulement doit toujours être, si possible, laminaire avec, comme seule dissipation d'une partie de l'énergie mécanique, sa transformation en chaleur. Au delà il est en phase dite critique, puis en régime turbulent qui utilise une partie de l'énergie mécanique pour créer des mouvements de plus en plus désordonnés, le rendement chutant alors considérablement

Sur un schéma hydraulique pour calculer les pertes en charges et le rendement d'un système hydraulique, il faut soit ajouter chaque élément pour obtenir le nombre de Reynolds complet, soit utiliser un abaque comme ici pour définir les Ø des tuyauteries, raccords et flexibles hydraulique

La similitude des fluides

Deux écoulements à géométrie équivalente pour lesquels les nombres de Reynolds sont égaux sont dits semblables. Pour qu'une expérience de modèle réduit d'un écoulement donne bien un écoulement semblable (c'est-à-dire identique à changements d'échelles de temps, de distance et de masse près) à l'écoulement en grandeur nature, il faut que :

$Re^{\star} = Re \;$ et $\quad\quad {p^{\star}\over \rho^{\star} {v^{\star}}^{2}} = {p\over \rho v^{2}} \; .$

Les valeurs marquées d'une astérisque « * » font référence à l'écoulement dans le modèle réduit et les autres valeurs à l'écoulement en grandeur nature. Ceci est utile pour les expériences sur les modèles réduits en veine liquide ou en tunnel aérodynamique où on récupère les données pour les écoulements en grandeur réelle. Pour les fluides compressibles, les nombres de Mach doivent aussi être égaux pour les deux fluides afin qu'ils puissent être considérés comme équivalents. De manière générale, il faut que les nombres sans dimension caractéristiques de l'écoulement soient identiques dans les deux écoulements.

La Mécanique des fluides

La mécanique des fluides est l’étude du comportement des fluides (liquides et gaz) et des forces internes associées. C’est une branche de la mécanique des milieux continus qui modélise la matière à l’aide de particules assez petites pour relever de l’analyse mathématique mais assez grandes par rapport aux molécules pour être décrites par des fonctions continues.

Elle se divise en statique des fluides, l’étude des fluides au repos, qui se réduit pour l’essentiel à l’hydrostatique et dynamique des fluides, l’étude des fluides en mouvement.

L’étude de la mécanique des fluides remonte au moins à l’époque de la Grèce antique avec Archimède qui fut à l’origine de la statique des fluides.

Aujourd’hui, la dynamique des fluides est un domaine actif de la recherche avec de nombreux problèmes non résolus ou partiellement résolus. Elle utilise systématiquement des méthodes numériques qu’on regroupe en anglais sous le nom de Computational fluid dynamics.

Dans certains problèmes particuliers, faute de modélisation numérique correcte des phénomènes, des modèles réduits sont utilisés. Pour cette raison, et aussi pour présenter des lois empiriques, la mécanique des fluides utilise systématiquement des nombres sans dimensions

Position des fluides dans la mécanique des milieux continus [modifier]

Les différents domaines de la mécanique des milieux continus peuvent être situés sommairement à l'aide du tableau suivant.

Mécanique des milieux continus	Déformation élastique ou Résistance des matériaux	Élasticité
		Plasticité	Rhéologie
	Mécanique des fluides	Fluides non-newtoniens
		Fluides newtoniens

Les fluides non-newtoniens (comme le sang, les gels, les boues, les pâtes, les suspensions, les émulsions,…) peuvent avoir des comportements très variés. Ils sont généralement inclus dans la rhéologie avec les solides plastiques et des corps aux comportements plus complexes.

En général on parle donc de mécanique des fluides à propos des seuls fluides newtoniens. Ils sont caractérisés par un coefficient de viscosité qui dépend de la température et de la pression. Cette mécanique des fluides réduite concerne essentiellement l’eau (hydraulique dans les conduites ou les canaux, hydrodynamique autour d’obstacles) et l’air (aéraulique dans les conduites, aérodynamique autour des obstacles).

Problèmes classiques de la mécanique des fluides [modifier]

Tous les fluides sont visqueux, c'est-à-dire que le mouvement d'une couche fluide par rapport à une autre est freiné par un phénomène de frottement qui entraîne une perte d'énergie mécanique transformée en chaleur. Dans un fluide newtonien, la force tangentielle est proportionnelle au taux de variation de la vitesse, ce qui conduit aux équations de Navier-Stokes. L'importance relative de la viscosité est mesurée par le nombre de Reynolds.

Si l'écoulement est uniforme, la viscosité n'a aucun effet puisque toutes les particules se déplacent à la même vitesse. Ce sont les parois, sur lesquelles la vitesse d'un fluide visqueux s'annule, qui créent une variation de vitesse entre 0 et la vitesse de l'écoulement non perturbé.

Lorsque la viscosité est très importante (nombre de Reynolds inférieur à 1), l'écoulement est laminaire, c'est l'écoulement de Stokes.

En toutes circonstances, il suffit de s'éloigner suffisamment des parois pour trouver des vitesses quasi-constantes qui permettent de négliger la viscosité. Plus la valeur du Reynolds est élevée, plus cette zone, dans laquelle on peut considérer que l'on a affaire à un fluide parfait, est importante. Elle est alors soumise aux équations d'Euler, beaucoup plus simples que celles de Navier-Stokes. Les effets de la viscosité se concentrent alors dans la couche limite assez mince pour permettre de simplifier les équations visqueuses.

Dans une première gamme de Reynolds, l'écoulement reste généralement irrotationnel, dépourvu de tourbillons. Pour de plus fortes valeurs, la couche limite engendre un sillage tourbillonnaire à l'aval de l'obstacle (voir par exemple Allée de tourbillons de Karman).

Lorsque le nombre de Reynolds atteint des valeurs encore plus élevées, la couche limite, laminaire à l'amont, devient turbulente à l'aval, cette turbulence se transmettant au sillage, ce qui complique considérablement le problème.

D'autre part, tous les fluides sont plus ou moins compressibles, l'effet de la compressibilité étant mesuré par le nombre de Mach. Là encore, il est souvent possible de simplifier les équations en négligeant la compressibilité pour les faibles nombres de Mach. C'est le cas général en hydrodynamique et, en aérodynamique, pour les vitesses relativement faibles.

Domaines d’application [modifier]

La mécanique des fluides au sens strict a de nombreuses applications dans divers domaines comme l'ingénierie navale, l'aéronautique, l'étude de l'écoulement du sang (hémodynamique), la météorologie, la climatologie ou encore l'océanographie.

Il existe également un grand nombre de domaines plus spécialisés qui peuvent s’écarter de la définition restrictive comme l’électro-fluidodynamique, la biodynamique, la microfluidique ou l’étude des écoulements polyphasiques. Elle est actuellement étendue à des écoulements tels que ceux des glaciers ou du manteau terrestre.

Le toubillon ( physique )

Le tourbillon, parfois appelé vorticité (du latin vortex), est une formulation mathématique de la dynamique des fluides relié à la quantité de vitesse angulaire ou de rotation que subit un fluide localement. Une façon simple de visualiser le tourbillon est de considérer un fluide en mouvement dans lequel on délimite un petit volume rigide. Si cette parcelle tourne par rapport à un référentiel au lieu de translater, elle tourbillonne

Terminologie [modifier]

La terminologie est assez fluctuante, pour une part à cause de la contamination par l'anglais.

Avant toute considération scientifique, un tourbillon est un mouvement de rotation d'une particule fluide tel que décrit dans le schéma voisin. En français technique le mot vortex représente généralement un tourbillon unique observé par exemple lors de la vidange d'une baignoire, à la différence de l'anglais pour lequel ce mot a un sens beaucoup plus général.

Comme toute rotation, le tourbillon est décrit comme un vecteur porté par l'axe de rotation dont l'intensité est égale à la vitesse de rotation. Il est commode de le caractériser par le vecteur tourbillon qui se calcule comme le rotationnel de la vitesse et a une intensité double de celle du vecteur rotation. Alors que le mot anglais vorticity représente généralement ce rotationnel, le mot français vorticité est plutôt associé à une zone tourbillonnaire (nappe de vorticité).

Dynamique des fluides [modifier]

En dynamique des fluides, le tourbillon est le rotationnel de la vitesse du fluide. On peut également le considérer comme la circulation par unité de surface en un point dans un flux :

${\overrightarrow{\mathrm{rot}}}\ \vec V = \vec \nabla \times \vec V = \begin{pmatrix} {\partial V_z / \partial y} - {\partial V_y / \partial z} \\ {\partial V_x / \partial z} - {\partial V_z / \partial x}\\ {\partial V_y / \partial x} - {\partial V_x / \partial y} \end{pmatrix}$

où $\vec V$ est le vecteur tri-dimensionnel de vitesse selon les coordonnées x, y et z et $\vec\nabla$ l'opérateur nabla.

C'est une quantité vectorielle dont la direction est le long de l'axe de rotation du fluide. Ainsi, pour un flux à deux dimensions quelconque (a et b), le vecteur de tourbillon se retrouve dans l'axe perpendiculaire au plan de rotation (c) et l'équation se réduit à :

$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\ \vec V_{ab} = \vec \nabla \times \vec V_{ab} = \left( \frac{\partial V_b}{\partial a} - \frac{\partial V_a}{\partial b} \right) \vec c$

On retrouve différents théorèmes reliés au tourbillon en physique.

Météorologie [modifier]

En météorologie, le tourbillon est une propriété importante du comportement de l'atmosphère à grande échelle. Comme la circulation atmosphérique est surtout horizontale, le vecteur de tourbillon est généralement vertical. Donc si on reprend la formulation précédente, on obtient le tourbillon relatif en un point au-dessus de la Terre ( $V r$ pour vitesse relative) :

$\zeta=\frac{\partial v_r}{\partial x} - \frac{\partial u_r}{\partial y}$

Cette expression ne tient cependant pas compte du mouvement du référentiel qu'est la Terre. En effet, cette dernière est en rotation elle-même dans l'espace et nous devons ajouter la rotation induite par la force de Coriolis pour obtenir le tourbillon absolu ( $V a$ pour vitesse absolue) :

$\eta=\frac{\partial v_a}{\partial x} - \frac{\partial u_a}{\partial y}$

si on dénote f comme le facteur de Coriolis :

$\eta=\frac{\partial v_r}{\partial x} - \frac{\partial u_r}{\partial y} + f = \zeta + f \qquad \qquad$

où $f = 2Ωsinφ$ pour un déplacement horizontal, avec $φ$ la latitude.

Dans l'hémisphère nord, le tourbillon est positif pour une rotation anti-horaire (cyclonique) et négative pour une rotation horaire (anti-cyclonique). C'est l'opposé dans l'hémisphère sud.

Le tourbillon en un point de l'atmosphère n'est pas conservatif en lui-même car l'épaisseur de la couche d'air peut être étirée ou compressée par le mouvement de l'air (ex. passage au-dessus d'une montagne). Cependant, le tourbillon total dans la colonne d'air est lui conservateur et on le nomme toubillon potentiel. En effet, en général l'air subit une compression ou décompression adiabatique, l'entropie est conservée et le tourbillon total de la colonne ne changera pas. Le tourbillon potentiel devient donc une façon de suivre les mouvements verticaux dans une masse d'air avec température potentielle constante.

En météorologie, l'une des approximations est celle de l'atmosphère barotrope où il n'y a pas de variation de température dans une masse d'air. L'équation de tourbillon barotrope est donc une façon simple de prévoir le déplacement des creux et crêtes d'onde longue à une hauteur de 50 kPa. Dans les années 1950, le premier programme de prévision numérique du temps utilisa cette équation.

Autres utilisations [modifier]

La notion de tourbillon est importante dans bien d'autres domaines de la dynamique des fluides. Par exemple, on peut estimer la distribution de la portance sur une aile d'avion d'envergure finie en supposant qu'à chaque section de l'aile est associé un tourbillon semi-infini vers l'aval. Il est alors possible de déterminer l'intensité de ces tourbillons en utilisant le critère selon lequel il n'y a pas de flux induit à travers la surface de l'aile. On additionne ensuite les intensités de tous les tourbillons pour trouver une valeur approchée de la circulation autour de l'aile. La portance est alors le produit de la circulation, de la vitesse de l'air et de sa masse volumique.

la dynamiques des fluides

La dynamique des fluides est l'étude des mouvements des fluides, qu'ils soient liquide ou gaz. La résolution d'un problème de dynamique des fluides demande normalement de calculer diverses propriétés des fluides comme par exemple la vitesse, la pression, la densité et la température en tant que fonctions de l'espace et du temps.

Perspectives actuelles [modifier]

On connaît parfaitement les équations qui gouvernent les fluides : il s'agit des équations de Navier-Stokes, ou des dérivés. Mais à l'heure actuelle, le problème ne se situe plus là. Malgré leur (relative) simplicité, ces équations peuvent générer des comportements extrêmement complexes, comme la turbulence. On ne peut aborder ces phénomènes chaotiques que d'un point de vue statistique, en utilisant un arsenal de méthodes théoriques (bases de filtres, fractales…), mais il reste difficile de prévoir à partir des équations, les comportements fins de la turbulence. Or la très grande majorité des écoulements qui nous entourent (eau, air) sont turbulents - c'est dire l'importance pratique de ce problème.

Il est également intéressant d'étudier la transition entre un comportement simple des fluides (écoulement laminaire) et un comportement chaotique (écoulement turbulent).

Étude des phénomènes [modifier]

L'étude de ces phénomènes est aujourd'hui bien souvent numérique : on simule des solutions des équations, qui ressemblent effectivement à des écoulements réels - sauf que c'est comme si on disposait d'un système de mesure parfait, qui pourrait tout mesurer sans rien perturber.

Une autre voie de recherche très utilisée est l'étude en soufflerie. En mettant un modèle à étudier dans un fort flux d'air, et en étudiant l'écoulement par divers moyens (mesure de la vitesse d'écoulement par anémomètre ou tube de Pitot, mesure des efforts par des dynamomètres, visualisation des lignes de courant), on peut faire de nombreux calculs et améliorer les paramètres aérodynamiques de l'objet).

Parallèlement, les études d'hydrodynamique sur les navires, les installations pétrolières en mer ou les ouvrages portuaires utilisent souvent des bassins dans lesquels on peut représenter des vagues réalistes. Comme en soufflerie, les essais s'effectuent généralement sur un modèle réduit.

Cela pose donc, dans les deux cas, des problèmes de similitude qui nécessitent d'abord une analyse critique des phénomènes pour mettre en évidence les paramètres pertinents et ceux que l'on peut négliger, ensuite leur prise en compte à l'aide de nombres sans dimension.

Il existe également d'autres méthodes expérimentales pour étudier des écoulements : strioscopie, vélocimétrie laser, …

Applications de la dynamique des fluides [modifier]

La dynamique des fluides et ses sous-disciplines comme l'aérodynamique, l'hydrodynamique, et l'hydraulique ont des applications très diverses. Par exemple, elles sont utilisées dans le calcul des forces et des moments dans l'aéronautique ou pour les prévisions météorologiques.

Le concept de fluide est étonnamment général. Par exemple, certains des concepts mathématiques de base concernant la gestion du trafic sont dérivés en considérant le trafic comme un fluide continu.

L'hypothèse de la continuité [modifier]

Les gaz sont composés de molécules qui se heurtent entre elles comme des objets pleins. L'hypothèse de continuité, cependant, considère les fluides comme étant continus. C'est-à-dire que l'on admet que des propriétés telles que la densité, la pression, la température, et la vitesse sont prises pour étant bien définies à des points infiniment petits, et ne changent pas d'un point à l'autre. La nature discrète et moléculaire d'un fluide est donc ignorée.

Ces problèmes pour lesquels l'hypothèse de continuité ne donne pas des réponses avec l'exactitude désirée sont résolus grâce à la mécanique statistique. Afin de déterminer s'il faut employer la dynamique liquide conventionnelle (une sous-discipline de la mécanique des milieux continus) ou de la mécanique statistique, le nombre de Knudsen est évalué pour résoudre le problème. Les problèmes pour lesquels le nombre de Knudsen est égal ou supérieur à 1 doivent être traités par la mécanique statistique pour donner des réponses fiables.

Équations de la dynamique des fluides [modifier]

Les axiomes fondamentaux de la dynamique des fluides sont les lois de conservation comme la conservation des masses, la conservation de la quantité de mouvement (plus connu sous le nom de seconde loi de Newton), et la conservation de l'énergie. Cela constitue la base de la mécanique newtonienne et sont aussi importantes en mécanique relativiste.

Les équations les plus importantes sont les équations de Navier-Stokes, qui sont des équations différentielles non-linéaire décrivant le mouvement des fluides. Ces équations, lorsqu'elles ne sont pas simplifiées n'ont pas de solutions analytiques et ne sont donc utiles que pour des simulations numériques. Ces équations peuvent être simplifiées de diverses manières ce qui rend les équations plus facile à résoudre. Certaines simplifications permettent de trouver des solutions analytiques à des problèmes de dynamique des fluides.

Choix d'une description du fluide [modifier]

Pour décrire mathématiquement les propriétés d'un fluide en mouvement, deux systèmes cohabitent, l'un et l'autre présentant des avantages dans des situations particulières. Il s'agit de :

Tandis que la première consiste à observer les modifications des propriétés d'une particule fluide que l'on suit dans son mouvement, la seconde se place en un point fixe du milieu à l'étude et observe les modifications des propriétés du fluide qui défile en ce point. Les deux descriptions sont liées mathématiquement par la relation :

$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad}\right)$

Où le terme $\frac{D}{Dt}$ , appelé "dérivée totale" ou "dérivée particulaire", représente la dérivée dans la description Lagrangienne ("Ressentie" par une particule en mouvement), et le terme $\frac{\partial}{\partial t}$ représente la dérivée dans la description Eulérienne ("Vue" par un observateur en un point fixe).

Flux compressible et incompressible [modifier]

Un fluide est appelé compressible si les changements de la densité du fluide ont des effets significatifs sur l'ensemble de la solution. Dans le cas contraire, il s'agit d'un fluide incompressible et les changements de densité sont ignorés.

Afin de savoir si le fluide est compressible ou incompressible, on calcule le nombre de Mach. Approximativement, les effets de la compression peuvent être ignorés pour les nombres de Mach en dessous de 0,3. Presque tous les problèmes impliquant des liquides se trouvent dans cette catégorie et sont définis comme incompressibles.

Les équations de Navier-Stokes incompressible sont des simplifications des équations de Navier-Stokes dans lesquelles la densité est considérée comme constante. Elles peuvent être utilisées pour résoudre les problèmes impliquant des fluides incompressibles.

En acoustique, la vitesse du son dans l'air étant finie, le fluide « air » doit être traité comme compressible. En effet, supposons que l'air soit un fluide incompressible, alors il se déplacerait en bloc et propagerait toute modification de pression locale à une vitesse infinie. La vitesse du son $c$ dans un fluide compressible s'écrit d'ailleurs comme fonction de sa compressibilité $χ$ :

$c 2 = (ρ 0 χ) - 1$

La viscosité [modifier]

Les problèmes dus à la viscosité sont ceux dans lesquels les frottements du fluide ont des effets significatifs sur la solution. Dans le cas où les frottements peuvent être négligé, le fluide est appelé non-visqueux.

Le nombre de Reynolds peut être employé pour estimer quel type d'équation est approprié pour résoudre un problème donné. Un nombre de Reynolds élevé indique que les forces d'inertie sont plus importante que les forces de frottement. Cependant, même lorsque le nombre de Reynolds est élevé, certains problèmes nécessitent de prendre en compte les effets de la viscosité. En particulier, dans les problèmes où l'on calcule les forces exercées sur un corps (comme les ailes d'un avion), il faut prendre en compte la viscosité. Comme illustré par le paradoxe d'Alembert, un corps immergé dans un fluide non visqueux n'est soumis à aucune force.

Les équations normalement utilisées pour l'écoulement d'un fluide non visqueux sont les équations d'Euler. Dans la dynamique des fluides numérique, on emploie les équations d'Euler lorsqu'on est loin du corps et équations tenant compte de la couche limite lorsqu'on est à proximité du corps.

Les équations d'Euler peuvent être intégrées le long d'une ligne de flux pour aboutir à l'équation de Bernoulli. Quand l'écoulement est partout irrotationnel et non visqueux, l'équation de Bernoulli peut être employée pour résoudre le problème.

Écoulement constant et non constant [modifier]

Une autre simplification des équations de la dynamique des fluides est de considérer toutes les propriétés du fluide comme étant constantes dans le temps. Ceci s'appelle alors un flux stationnaire et est applicable à de nombreux problèmes, tels que la poussé ou la traînée d'une aile ou un flux traversant un tuyau. Dans le cas particulier d'un flux stationnaire, les équations de Navier-Stokes et d'Euler se simplifient donc.

Si un fluide est à la fois incompressible, non visqueux et stationnaire, il peut être résolu avec l'écoulement potentiel découlant de l'équation de Laplace. Les problèmes de cette classe ont des solutions qui sont des combinaisons d'écoulements linéaires élémentaires.

Lorsqu'un corps est accéléré dans un fluide, s'introduit la notion de masse ajoutée.

Écoulement laminaire et turbulence [modifier]

La turbulence est un écoulement dominé par des remous, et un aspect aléatoire apparent. Lorsqu'il n'y a pas de turbulences on dit que l'écoulement est laminaire.

La turbulence des fluides obéit à l'équation de Navier-Stokes. Cependant, les problèmes d'écoulement sont si complexes qu'il n'est pas possible actuellement de les résoudre numériquement en partant des principes de base. La turbulence est plutôt modélisée à l'aide d'un des nombreux modèles de turbulence et couplée avec un résolveur de flux qui suppose que le flux est laminaire en dehors de la région de turbulence. L'étude du Nombre de Reynolds permet de déterminer le caractère turbulent ou laminaire d'un écoulement.

Dans un circuit ou système hydraulique l'écoulement doit toujours si possible être laminaire au delà il est en phase dite critique et ensuite en régime turbulent, ce qui transforme l'énergie mécanique en température plutôt qu'en énergie hydraulique, le rendement à ce moment chute considérablement

Voir abaque ici pour définir les Ø des tuyauteries et flexibles hydraulique

Autres approximations [modifier]

Il y a un grand nombre d'autres approximations possibles faces aux problèmes de la dynamique des fluides. Un écoulement de Stokes est l'écoulement d'un fluide dont le Nombre de Reynolds est très bas, de sorte que les forces d'inertie peuvent être négligées face aux forces de frottement. L'approximation de Boussinesq néglige les forces de compression excepté pour calculer les forces de flottabilité.

la superfluidité

Point Lambda [modifier]

Les physiciens mentionnés ci-dessus ont constaté qu'en-dessous de la température critique de 2,17 kelvins, (soit -270,98°C), ce que nous appelons le point lambda (λ), l'hélium 4 subissait une transition de phase. Il passait d'un état liquide à un autre aux propriétés sensiblement différentes. En effet, l'expérience, confirmée par la suite, montra que ce nouvel état de l'hélium conduisait très bien la chaleur, ce qui ne pouvait s'expliquer que par une faible viscosité.

Des expériences plus spécifiques à la mécanique des fluides montrèrent ensuite que l'écoulement de cet hélium dans un tuyau était sensiblement indépendant de la pression appliquée sur les parois du tuyau, et de plus indépendant de la section du tuyau en question !

Ceci ne pouvait s'expliquer que par une absence totale de viscosité, d'où le nom de superfluidité.

En bref, un liquide est dit superfluide s’il n'oppose aucune résistance à l'écoulement. En conséquence, les solides qui se meuvent dedans ne subissent aucun frottement visqueux.

Propriété d'un superfluide [modifier]

D'autres propriétés remarquables d'un superfluide sont l'existence d'une conductivité thermique infinie et la présence de tourbillons possédant une vorticité quantifiée. Du point de vue théorique, on peut décrire l'hydrodynamique d'un superfluide par un modèle à deux fluides, le fluide normal qui possède une viscosité non-nulle et le superfluide de viscosité nulle. Lorsque la température diminue, la fraction superfluide augmente et la fraction normale diminue. En dessous du point λ, l'hélium superfluide acquiert la qualité de supraconducteur de chaleur, c’est-à-dire qu'il ne supporte pas la moindre différence de température entre deux de ses parties. Sans quoi, l'hélium n'est plus exactement un superfluide.

Modèle des deux fluides [modifier]

Le principe de ce modèle dit que l'hélium superfluide est, en réalité, l'interpénétration, le mélange, de deux fluides aux propriétés très différentes. Il se composerait d'un fluide normal et d'un superfluide. Le fluide normal se compose d'atomes n'ayant pas subi la condensation. Ils occupent donc, des états différents de l'état fondamental et les atomes qui le composent sont donc localisés. Le superfluide, lui, est identifié au condensat. C’est-à-dire que l'ensemble des atomes sont compressés dans l'état fondamental habituel. Contrairement au fluide normal, ses particules sont complètement délocalisées, du point de vue quantique.
Le fait que l'hélium soit composé de ces deux éléments, n'est bien sûr qu'un modèle dont la validité reste à prouver.

D'autres superfluides [modifier]

Dans les années 70, Douglas Osheroff, David M. Lee et Robert C. Richardson ont découvert un état superfluide pour l'isotope rare de l'hélium, l'hélium 3, à une température de 2mK environ, bien inférieure à la température de transition superfluide mesurée dans l'hélium 4. Pour cette découverte, le prix Nobel de physique leur a été attribué en 1996.

La différence entre les deux isotopes de l'hélium est que les atomes d'hélium 4 sont des bosons, alors que les atomes d'hélium 3 sont des fermions, ce qui fait que leur comportement à très basse température suit des lois radicalement différentes.

Comme l'a suggéré Fritz London dans les années 40, la formation d'un état superfluide dans l'hélium 4 correspond à une condensation de Bose-Einstein des atomes d'hélium qui sont des particules quantiques bosoniques. Toutefois, contrairement au cas du gaz de Bose idéal, dans l'hélium 4 la répulsion entre les atomes est très forte, et même à très basse température, seulement 10% des atomes sont dans le condensat.

Au contraire, à cause de son caractère fermionique, l'hélium 3 à très basse température forme un liquide de Fermi. C'est l'existence d'une très faible attraction entre les atomes d'hélium 3 qui produit un appariement des atomes fermioniques d'hélium 3 en dessous de la transition superfluide. Un phénomène similaire conduit à la supraconductivité dans les métaux. Dans ce dernier cas, les particules formant un état superfluide sont des paires d'électrons ("paires de Cooper"), et l'absence de viscosité se traduit par une absence de résistivité électrique. La théorie des phases superfluides de l'hélium 3 est une extension de la théorie BCS développée par Balian, Werthamer, Anderson, Brinkmann, Morel et Leggett.